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有理数和无理数的区别 有人建议给无理数摘掉无理的

日期:2019-12-23 07:13:08编辑:风尘浪子返回首页:QQ名字

提到无理数,大家都了解,有朋友问什么叫做有理数和无理数,当然了,还有朋友想问有理数和无理数的定义,这到底怎么回事呢?实际上写出三个常见的无理数呢,下面小编整理了有理数和无理数的区别,一起来看看吧。

有理数和无理数的区别

1、把有理数和无理数都写成小数形式时,有理数能写成有限小数和无限循环小数。

比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数,

比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。

2、所有的有理数都可以写成两个整数之比;而无理数不能。

根据这一点,有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子,把有理数改叫为“比数”,把无理数改叫为“非比数”。

3、有理数的位数是有限的,二无理数的位数是无限的。

有理数和无理数的和一定为无理数。

有理数可以化为两整数比(即分数)的形式,而无理数则不能。假设有理数a/b与无理数x的和是有理数c/d,其中a,b,c,d都是整数,且b,d不为零那么a/b+x=c/d, x=c/d-a/b=(bc-ad)/bdx可以化为两整数bc-ad和bd的比的形式。

x是有理数,这与题设x是无理数矛盾。所以一个有理数与一个无理数的和不能是有理数,一定为无理数。

有理数:通常我们把能够写成分数形式称为有理数。有理数是一个整数a和一个正整数b的比,例如3/8,通则为a/b。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。0也是有理数,整数和分数统称有理数,整数也可看做是分母为一的分数。比如4=4.0, 4/5=0.8,。

无理数:不是有理数的实数称为无理数,即无理数的小数部分是无限不循环的数。如圆周率、√2(根号 2),1/3=0.33333……

扩展资料:

实数(real munber)分为有理数和无理数(irrational number)。

有理数分为整数和分数

整数又分为正整数、负整数和0

分数又分为正分数、负分数

正整数和0又被称为自然数

有理数和无理数定义的区别是什么

有理数和无理数定义有3点不同:

一、两者的含义不同:

1、有理数的含义:数学中,有理数是一个整数a和一个正整数b的比,例如3/8,通常为a/b,0也是有理数。

2、无理数的含义:在数学中,无理数是所有不是有理数字的实数,后者是由整数的比率(或分数)构成的数字。

二、两者的特征不同:

1、有理数的特征:有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。

2、无理数的特征:无理数的小数部分是无限不循环的数。

三、两者的实质不同:

1、有理数的实质:有理数为整数(正整数、0、负整数)和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数,负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。

由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数,反之,每一个十进制循环小数也能化为整数或分数,因此,有理数也可以定义为十进制循环小数。

2、无理数的实质:无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说,无理数就是10进制下的无限不循环小数,如圆周率、根号2等。

有理数和无理数的区别

整数和分数统称为有理数,任何一个有理数都可以写成分数m/n的形式,m,n都是整数,且n≠0,m,n互质。

  无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数 ,比如π,3.1415926535897932384626......

  而有理数恰恰与它相反,整数和分数统称为有理数

  包括整数和通常所说的分数,此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。

  这一定义在数的十进制和其他进位制(如二进制)下都适用。

  数学上,有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio),通常写作 a/b,故又称作分数。希腊文称为 λογο?? ,原意为“成比例的数”(rational number),但中文翻译不恰当,逐渐变成“有道理的数”。不是有理数的实数遂称为无理数。

  所有有理数的集合表示为 Q,有理数的小数部分有限或为循环。

  有理数分为整数和分数

  整数又分为正整数、负整数和0

  分数又分为正分数、负分数

  正整数和0又被称为自然数

  如3,-98.11,5.72727272……,7/22都是有理数。

  全体有理数构成一个集合,即有理数集,用粗体字母Q表示,较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。

  有理数集是实数集的子集。相关的内容见数系的扩张。

  有理数集是一个域,即在其中可进行四则运算(0作除数除外),而且对于这些运算,以下的运算律成立(a、b、c等都表示任意的有理数):

  ①加法的交换律 a+b=b+a;

  ②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c;

  ③存在数0,使 0+a=a+0=a;

  ④对任意有理数a,存在一个加法逆元,记作-a,使a+(-a)=(-a)+a=0;

  ⑤乘法的交换律 ab=ba;

  ⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c;

  ⑦分配律 a(b+c)=ab+ac;

  ⑧存在乘法的单位元1≠0,使得对任意有理数a,1a=a1=a;

  ⑨对于不为0的有理数a,存在乘法逆元1/a,使a(1/a)=(1/a)a=1。

  ⑩0a=0 文字解释:一个数乘0还于0。

  此外,有理数是一个序域,即在其上存在一个次序关系≤。

  有理数还是一个阿基米德域,即对有理数a和b,a≥0,b>0,必可找到一个自然数n,使nb>a。由此不难推知,不存在最大的有理数。

  值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解,有理数并不比别的数更“有道理”。事实上,这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来,在英语中是rational number,而rational通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作,依据日语中的翻译方法,以讹传讹,把它译成了“有理数”。但是,这个词来源于古希腊,其英文词根为ratio,就是比率的意思(这里的词根是英语中的,希腊语意义与之相同)。所以这个词的意义也很显豁,就是整数的“比”。与之相对,“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数,而并非没有道理。

  有理数加减混合运算

  1.理数加减统一成加法的意义:

  对于加减混合运算中的减法,我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法,这样就可将混合运算统一为加法运算,统一后的式子是几个正数或负数的和的形式,我们把这样的式子叫做代数和。

  2.有理数加减混合运算的方法和步骤:

  (1)运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。

  (2)运用加法法则,加法交换律,加法结合律简便运算。

  有理数范围内已有的绝对值,相反数等概念,在实数范围内有同样的意义。

  一般情况下,有理数是这样分类的:

  整数、分数;正数、负数和零;负有理数,非负有理数

  整数和分数统称有理数,有理数可以用a/b的形式表达,其中a、b都是整数,且互质。我们日常经常使用有理数的。比如多少钱,多少斤等。

  凡是不能用a/b形式表达的实数就是无理数,又叫无限不循环小数

  一个困难的问题

  有理数的边界在哪里?

  根据定义,无限循环小数和有限小数(整数可认为是小数点后是0的小数),统称为有理数,无限不循环小数是无理数。

  但人类不可能写出一个位数最多的有理数,对全地球人类,或比地球人更智慧的生物来说是有理数的数,对每个地球人来说,可能是无法知道它是有理数还是无理数了。因此有理数和无理数的边界,竟然紧靠无理数,任何两个十分接近的无理数中间,都可以加入无穷多的有理数,反之也成立。

  竟然没有人知道有理数的边界,或者说有理数的边界是无限接近无理数的。

  定理:位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的,尽管它的定义是有有限位,但它是无限趋近于无理数的,以致于没有手段进行判断。

  证明:假设位数最多的非无限循环有理数被写出,我们在这个数的最后再加一位,这个数还是有限位有理数,但位数比已写出有理数多一位,证明原来写出的不是位数最多的非无限循环有理数。所以位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的。

  关于无理数与有理数无法比较的说明:

  对于定义无限不循环小数是无理数,无理数之外为有理数。则无理数很难被证实,而每一个无理数,无论认识多少位,都有有理数对应,而位数较短的有理数,都没有无理数对应,因此有理数多。

  对于定义为有限位小数和无限循环小数为有理数,无限不循环数为无理数。对于很多位数多的无法分辨的数没有明确归属,而认为大于特定有限位的数都是无理数的人,才能证明无理数比有理数多,但那明显是将很多很多有理数归为无理数的结果。在这个定义下,由于界限不明,无法进行比较,除非有人能有力的证明。

  无限不循环小数不是有理数,如:

  0.10100100010000100000......

  0.1200000012000012000000120000......

  π

  等是无限不循环小数,所以不是有理数

  循环小数化分数的方法

  0.777777......

  有一个数循环,分母是一个9,循环数是7.化分数后是7/9

  0.535353......

  有两个数循环,分母是两个9,循环数是53.化分数后是53/99

  我们可以在数轴上表示有理数.注意画数轴的三要素(原点,正方向,单位长度).

有理数和无理数的定义和区别 急急

有理数指整数可以看作分母为1的分数。正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数

无理数,即非有理数之实数,不能写作两整数之比。若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环。 常见的无理数有大部分的平方根、π和e(其中后两者同时为超越数)等。

有理数与实数的区别

有理数与实数的区别:

1、性质不同

有理数:有理数为整数(正整数、0、负整数)和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数,负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。

实数:实数是有理数和无理数的总称。数学上,实数定义为与数轴上的实数,点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数,实数和数轴上的点一一对应。

2、所属不同

有理数:有理数属于实数,有理数包括正整数、0、负整数,又包括正整数和正分数,负整数和负分数。

实数:实属包括有理数,实数可以分为有理数和无理数两类,或代数数和超越数两类。

有理数加法运算:

1、同号两数相加,取与加数相同的符号,并把绝对值相加。

2、异号两数相加,若绝对值相等则互为相反数的两数和为0;若绝对值不相等,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

3、互为相反数的两数相加得0。

4、一个数同0相加仍得这个数。

5、互为相反数的两个数,可以先相加。

6、符号相同的数可以先相加。

7、分母相同的数可以先相加。

8、几个数相加能得整数的可以先相加。

实数,有理数,无理数,自然数,这些到底有什么区别

实数包括有理数和无理数

自然数包括0和正整数

无理数指无限不循环小数,例如圆周率,根号3

有理数包括整数和分数

常见的无理数有哪三种形式

常见的无理数有以下四种形式:

1、无穷不循环小数:3.14159265........

2、根式:(√5-1)/2

3、函数式:lg2,sin1°

4、专用符号:e,π,γ

有理数运算定律

1、加法运算律:

(1)、加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变,即  

(2)、加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加或者先把后两个数相加,和不变,即  

2、减法运算律:

(1)减法运算律:减去一个数,等于加上这个数的相反数。即:  

3、乘法运算律:

(1)、乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积不变,即  

(2)、乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数先乘,或者先把后两个相乘,积不变,即  

4、乘法分配律:

(1)、某个数与两个数的和相乘等于把这个数分别与这两个数相乘,再把积相加,即 

0是有理数还是无理数?

0是有理数

怎么判断带根号的数是有理数还是无理数?

要看根号下的那个数是不是完全平方数,即它能写成另一个数的平方。如果是一个完全平方数,开根号后就是有理数;反之,是无理数。

数学上,有理数是一个整数a和一个正整数b的比,例如3/8,通则为a/b。0也是有理数。有理数是整数和分数的集合,整数也可看做是分母为一的分数。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。不是有理数的实数称为无理数,即无理数的小数部分是无限不循环的数。

举例:

若a^n=b,那么a是b开n次方的n次方根或a是b的1/n次方。开n次方手写体和印刷体用√ ̄表示,被开方的数或代数式写在符号左方v形部分的右边和符号上方一横部分的下方共同包围的区域中,而且不能出界。

有理数集与整数集的一个重要区别是,有理数集是稠密的,而整数集是密集的。将有理数依大小顺序排定后,任何两个有理数之间必定还存在其他的有理数,这就是稠密性。整数集没有这一特性,两个相邻的整数之间就没有其他的整数了。

有理数是实数的紧密子集:每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是,仅有理数可化为有限连分数。依照它们的序列,有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的(稠密)子集,因此它同时具有一个子空间拓扑。

无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说,无理数就是10进制下的无限不循环小数,如圆周率、等。

而有理数由所有分数,整数组成,总能写成整数、有限小数或无限循环小数,并且总能写成两整数之比,如21/7等。